褚瑞雪

四边形与三角形有着密切的联系，它可以看做是由两个具有一条公共边的三角形拼合而成，所以在研究与四边形相关的问题时，如能灵活地把它转化为三角形问题来解，往往能收到良好的效果。今举几例。

一、直接利用三角形

［例1］求证：四边形两条对角线的和大于一组对边的和。

分析：已知：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交 于O点，

求证：AC＋BD>AB＋CD

图1

证明：在△AOB和△COD中

∵AO＋BO>AB，CO＋DO>CD

∴AO＋BO＋CO＋DO>AB＋CD

∴AC＋BD>AB＋CD

二、添对角线构造三角形

由四边形与三角形的联系，经常作四边形的对角线也就成了与四边形相关问题中的常用辅助线，通过这个辅助线也就让四边形回到三角形的怀抱了。

［例2］如图2，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC= ，CD=5，DA=3，求四边形ABCD的面积。

图2

解析：本题中四边形不是已知面积公式的四边形，注意到∠B是直角添对角线AC，可将它分成两个三角形来求面积。连结AC，在Rt△ABC中，

∠B=90°，AB=2， ，由勾股定理，得AC=4

又因为CD=5，DA=3

由勾股定理的逆定理可判定△ACD也是直角三角形，∠DAC=90°

所以S_{四边形ABCD}=S_△ABC＋S_△DAC

注：添对角线是将四边形转化为三角形的最直接也是最常用的方法。

三、添高线构造三角形

［例3］如图3，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C=180°。

图3

证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F。因为BD平分∠ABC

所以DE=DF

Rt△EAD≌Rt△FCD

所以，∠C=∠EAD

因为∠EAD＋∠BAD=180°

所以∠C＋∠BAD=180°

四、通过补形构造三角形

［例4］如图4，梯形ABCD中，AB//CD，EF是梯形的中位线，如果AC⊥BC，垂足为C，∠1=∠2，那么梯形EFCD的面积与梯形ABFE的面积之比等于__________。

图4

解析：将BC、AD分别延长交于点G

∵∠1=∠2，AC⊥BC

∴△ABG为等腰三角形

∴GC=BC，又△GDC∽△GAB，∴

又∵EF是梯形ABCD的中位线

∴梯形EFCD与梯形ABFE是等高梯形

∴

［例5］如图5，在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，P为BC上的一点，且BP=3，PC=6，AB=1，CD=4，求：∠APD的度数。

图5

解析：本题题设中∠B=∠C=60°，通过作延长线可将四边形进行补形，将问题转化为等边三角形求解。

延长BA、CD相交于点Q，连结QP，则△QBC为等边三角形，BQ=CQ=BC=3＋6=9。

由 ，∠B=∠B

得△BPA∽△BQP，∠BPA=∠BQP

同理∠CPD=∠CQP

所以∠BPA＋∠CPD=∠BQP＋∠CQP=60°

故∠APD=180°－（∠BPA＋∠CPD）

=180°－60°=120°